ハローワークは何時から開所しているのでしょうか。ホームページを見ても見当たらなかったものですから^^;。因みに失業保険の申請に行きたいと思っております。ご教示頂けましたら幸いです。

ハローワークの開所（営業）時間は、基本的に8：30～17：00です。
中には土曜などの休日に10：00～19：00というところもあるようです。

失業保険の申請は初めてなんですね？
だとしたら、手続きに必要なものをしっかり準備して、受付窓口へ提出。
その後、担当の人から退職の理由（自己都合か会社都合か）を確認されますので、事実をしっかり伝える（このとき会社側から言われた通りの理由と一致するように）と手続きがスムーズに運びます。

なにも難しく考えずに、聞かれたこと以外に発言しないようにするといいでしょう。

失業保険が給付されるのは、雇用保険の加入期間は一箇所の職場で12ヶ月以上ではなく、短期限定の仕事でも加入していれば合計で12ヶ月以上あればいいのでしょうか？

短期間の合計でもいいですが、自己都合なら1２ヶ月、会社都合なら６ヶ月以上ですね。ただし、１ヶ月でも１１日以上勤務していない月があれば計算から外れますよ。

失業保険対象外ですが、既に支払損ですか？本業が不振のため、休業し２年間派遣で就労しました。会社都合で、退社しましたが、自営のため、支払対象外です。既に天引きされた、保険料の還付など救済処理はありますか

言っていることに矛盾があるように思います。
雇用保健を払いながら（給与から天引き），その扱いは自営業（個人事業主?）扱いであったということであれば
そもそもおかしなことになりますね。
会社が払わないで言いお金（保険料）をポケットに入れていたということかもしれませんし。
おかしな話ですね。ハローワークで実態を説明して相談してみたらどうでしょうか。

それとも辞めた理由が自営業をはじめる自己都合という意味なら，自己都合でも１年以上勤務すれば３ヶ月もらえるはずですよ。
だれがもらえないと言いましたか?。

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