その際失業保険の延長申請を行い受理されました。公共職業訓練なら仮に自己都合でも3か月の待機期間がなくなります。待期期間は進行していますのでもうありません。

ご回答よろしくお願いします。
私は今、派遣で病院に勤務しています。この度派遣元と病院との契約が終了する為、退職という形になりました。その際、他の派遣先へという話は無く今日退職届を記
入するようにと渡されました。
この場合自己都合になるのでしょうか？
失業保険を貰って職業訓練に通おうと思っているのですが自己都合の場合3ヶ月は貰えないので厳しい為自己都合ならばすぐ仕事を探さないといけません。

契約満了だから会社都合ですよ。
いちお離職票がきたら確認してください。

公共職業訓練なら仮に自己都合でも3か月の待機期間がなくなります。

訓練は申込、面接や試験、合格とスケジュールがあるから気をつけて下さい。

派遣の契約を更新をしなかった場合の失業保険について質問です。
先月、3ヶ月毎更新の派遣のお仕事を、こちらの事情（ステップアップしたい。）で契約更新せずに、２年３ヶ月でお仕事を終了しました。派遣先からの希望は「長期」でした。

この場合、自己都合となり、３ヶ月待たないと失業保険は出ないものだと思っていたでのすが、
ネットで色々と調べていると、更新を希望しなかった場合でも、３ヶ月更新の３ヶ月を満了したのだから（中途半端な月に辞めてない）、「期間満了」となり、会社都合で失業した場合と同じように失業保険をもらえる、というような書き方をされているご意見もあり、わからなくなってきました。

次の派遣の仕事は探し中で、今までの派遣会社で派遣の仕事を探しています。派遣先から紹介された案件もありますが、いまだ次の仕事は決まっていません。
このような場合でも、「会社都合」での退職と同じように、すぐに失業保険を給付できるのでしょうか？

詳しい方のアドバイスをよろしくお願い致します。

会社都合で離職票出したがらない派遣会社もあるようです。
契約更新しないという事は、
継続すれば仕事があるのに、
自分の判断、都合で辞退したと取られる場合もあるからです。
（ちなみに自分は自己都合で出ましたよ。もう何年も前の話ですが）
基本的に派遣に限らず会社都合は、
倒産や解雇など、会社（クライアント）側から雇用を切られる場合に用いられる言葉だと思います。
今のあなたは待機中ですよね？
失業とは少し違うと思います。
結局は派遣会社の対応に委ねるしかありません。
担当のコーディになんとか会社都合で出して欲しいと願い出るしかないと思います。
結果、離職票が自己都合で出てしまったとしても、違法性はないと思います。

失業保険について質問です。
去年の七月に病気により自己都合退職し、傷病手当金で療養してきました。
その際失業保険の延長申請を行い受理されました。今月で傷病手当金の期限もきますし体調もかなり回復したので
ハローワークに延長終了の申請を書類とともに年明けに持っていこうと思っています。ここで質問なんですが

傷病手当金を一年以上もらっていても失業保険金は支払われるのでしょうか？

又、もらえる場合、やはり自己都合による三か月の待機後になるのでしょうか？

傷病手当金をもらってもそれが終われば雇用保険を延長していれば受給できます。
ただし、医者の就労可能診断書が必要です。
待期期間は進行していますのでもうありません。