ハローワークの職業訓練では給付金が出るみたいですが、公務員を退職した人は失業保険が貰えないので、給付金も出ないのですか？

教育訓練給付（職業訓練）のことでしょうか。
雇用保険の被保険者または被保険者であった人が、条件を満たせば受けられる
雇用保険の給付制度です。
公務員じゃない人でも、３年以上雇用保険を納めていない人はもらえません。

失業保険について
二つ聞きたいことがあります。
①失業保険をもらいながら就職活動をしていて就職先が決まった場合は、失業保険はいつまでもらえますか？
実際就職する日までですか？それとも内定をいただいた日までですか？

②早めに就職が決まり失業保険をもらえる日が多く残っていると再就職手当がもらえると思いますが
それは別にハローワークを通じた会社じゃなくても大丈夫なのでしょうか？（自分でネットで探した会社とかです）

２は大丈夫です。
１は厳密にはどちらも違います。

正確には就職すると決めた日です。

例えば
４月１日からの勤務に内定を受けたのが３月１１日だったとします。
認定日が３月２０日にあるとして認定日に
「内定が貰えましたのでそこに就職します」
と言うと認定されません。
理由は失業給付は求職中のみ貰えるので内定が貰えて就職すると決めれば求職者ではありませんから
でも
「内定は貰えましたが３月末まで他も探してみます」
と言うと認定されます。
そして就職日前日に「内定貰えた所に明日から就職します。」
と言うとその日までの分が受給になります。

失業保険について質問なんですが、今の会社に就職して約１年半になります。今の会社にいる間に次の就職先を決めて、
辞めたらすぐに次の会社で働きたいと思っているのですが、このような場合には失業保険は出ないのでしょうか？教えてください。

仕事を辞めれば「雇用保険」（失業保険）がもらえると勘違いされているようですが、先に回答があったとおり失業期間がありませんね。ですから対象外です。
また、仕事が決まっていて退職から少し期間をおいて１～２ヶ月後にその仕事に付く場合も失業状態とは認められないのです。
なぜかと言えば、仕事が決まっているので求職活動をしないからです。

雇用保険　失業保険についてです。

雇用保険を使わないで、ほかの会社に勤めた時に、
その保険は残しておけるような話を聞きました。

何年たっても抹消されることなく、使えるものなんでしょうか？

退職後に1年以内に再就職すれば、雇用保険の期間は通算されます。
1年を超えると被保険者番号はそのまま使えますが、掛けた期間はリセットされます。

会社を辞めて、失業保険を貰うのと、パートをするのと、どちらがトータル的に収入が多いですか？ちなみに関東の主婦の場合です。

その人それぞれの内容により額が違いますので総論で結論が出る問題ではありません。
でも失業保険の手続をしてもらい始めて直ぐに就職（パート勤務）すれば，一時金で失業保険の数割を
もらえますので，パート収入と合算すれば働く方がお得の場合が多いと想像します。

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